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Archive for the ‘Filosofia della matematica (VarLib)’ Category

Filosofia di qualche cosa

Posted by francescaboccuni su settembre 25, 2007

Ormai sono quasi esasperata. Non riesco a capire se il problema di cui vi illusterò in questo post sia un problema e, se sì, a quale categoria appartenga. Per quest’ultimo motivo, mi aggrappo all’unica certezza che mi rimane: aver fino ad ora studiato più che altro filosofia della matematica.

Vengo subito al dunque. Il fishy problem è il seguente. Ricordate le vostre letture giovanili? Se sì, ricorderete certamente quando, ormai seienni, vi siete imbattuti nei Grundlagen der Arithmetik di freghiana fattura [A.D. 1884]. E sono certa che è impressa a fuoco nei vostri cuori e nella vostra mente la Fatidica Definizione Esplicita di Numero Naturale, secondo cui il Numero degli F è l’estensione del concetto “equinumeroso a F”. [§ 68]

Ora, consideriamo il numero 4. Una semplice applicazione al particolare ci dice che il numero 4 è l’estensione del concetto “equinumeroso a {0,1,2,3}” (fidatevi: la definizione è corretta anche se ve la vendo direttamente in termini estensionali. Se volete quella in termini di concetti, accomodatevi…). Consideriamo adesso il concetto “essere una luna di Giove”. Essendoci quattro lune di Giove, l’estensione di questo concetto cadrà sotto il concetto “equinumeroso a {0,1,2,3}”. Assumiamo, però, che nel 2020 le lune di Giove diventino tre, per volere divino, una esplosione quantico-atomica o l’intervento del mago Othelma. Dovremmo dunque ammettere che è vero che

(1) l’estensione di “essere una luna di Giove” nel 2007 è diversa dall’estensione di “essere una luna di Giove” nel 2020

e che dunque l’estensione di “essere una luna di Giove” nel 2020 non cadrà sotto il concetto “equinumeroso a {01,2,3}”.  Ora, chiaramente, se le estensioni che cadono sotto “equinumeroso a {01,2,3}” cambiano, l’estensione dello stesso concetto “equinumeroso a {01,2,3}” cambierà. Quindi, se certe estensioni cadono sotto “equinumeroso a {01,2,3}” nel 2007, altre estensioni, anche diverse dalle precedenti, possono cadere sotto “equinumeroso a {01,2,3}” nel 2020. La seguente proposizione è dunque vera:

 (2) l’estensione di “equinumeroso a {01,2,3}” nel 2007 è diversa dall’estensione di “equinumeroso a {01,2,3}” nel 2020

 che, in base alla Definizione Esplicita, porta dritto dritto a:

(3) 4 nel 2007 è diverso da 4 nel 2020.

Se effettivamente alcuni concetti possono determinare estensioni diverse attraverso il tempo, allora la cosa è preoccupante, visto che qualsiasi concetto è passibile di essere incassato nella definizione di Numero Naturale. A questo punto, direi che abbiamo già un problema un po’ ingombrante, datosi che non vorremmo (almeno io non lo vorrei) che i numeri fossero entità tempo- o mondo-sensibili.

Un paio di domande sorgono inevitabili: 1) qual è la causa del problema?; 2) qual è la soluzione?

Rispetto alla causa, vi posso dire quanto segue. Io non credo la fonte del problema risieda nella teoria dei concetti freghiani. Per asserire che bisogna imputare ai concetti freghiani l’insorgenza del pasticcio, dovremmo assumere che si possono dare concetti freghiani privi di un criterio di applicazione soddisfacente. Tuttavia, i concetti freghiani costituzionalmente sono ben determinati, perchè è loro richiesto di tagliare nettamente in due (ed una volta per tutte, direi) il Dominio degli individui in estensione e controestensione. In sostanza, un enunciato della forma “a è una luna di Giove” deve soddisfare il Principio del Terzo Escluso, quale che sia a. Altrimenti, la supposta espressione concettuale non esprime punto un concetto. (Assumo che sia ovvio che dal punto di vista di Frege un’altra caratteristica fondamentale dei concetti, per quanto misteriosa, sia che essi sono palesati da espressioni insature).

La mia modestissima opinione è che il problema, posto che sia tale, è dovuto alla onnicomprensività e contemporanea omogeneità del Dominio freghiano degli individui (quanto meno nei Grundlagen). [Per amor di precisione, ci sono illustri precedenti: Mathias Schirn in alcuni suoi papers suggerisce che il Dominio freghiano degli individui sia onni-inclusivo e omogeneo ed è questa la fonte del problema di Giulio Cesare. Della stessa opinione relativa al Dominio degli individui sono M. Dummett e G. Boolos, quest’ultimo certamente relativamente ai Begriffsschrift]:

a) Onnicomprensività: il Dominio freghiano degli individui contiene letteralmente tutti gli individui, logici e non logici (la questione è disputata: alcuni come Heck e, credo, Wright ritengono che il Dominio degli individui freghiani consti di decorsi di valori e valori di verità, assimilati per stipulazione ai loro rispettivi singoletti; altri, come Schirn, ritengono che certamente i decorsi di valori siano individui del Dominio freghiano, ma che non è certo che essi soli lo siano, anzi per alcuni il Dominio è appunto onni-inclusivo. A questo proposito, cfr. § 10 dei Grundgesetze).

b) Omogeneità: tutti gli individui freghiani sono trattati allo stesso modo, tutti cioè possono essere gli argomenti di qualsiasi funzione

c) Sortali: Frege tuttavia presuppone una differenza sortale fra oggetti logici ed oggetti non logici (Frege difatti assume che sia evidente cosa siano le estensioni e che nessuno mai potrebbe confondere l’Inghilterra con l’asse terrestre: cfr. Grundlagen, § 66).

[Voglio fare presente, per onestà, che né il punto a) né il punto c) sono esplicitamente considerati nella letteratura freghiana a me nota. Assumo quindi, con beneficio del dubbio, che possano esserci loci freghiani a me attualmente ignoti in cui le questioni sono sviscerate ampiamente]

Queste considerazioni rendono conto abbastanza semplicemente del fatto che, dopo tutto, non è per nulla banale e neppure insensato, in una prospettiva freghiana, chiedersi se Giulio Cesare sia o meno un numero. Rendono inoltre conto del fatto che, se l’Universo Mondo è il Dominio freghiano di quantificazione delle variabili del primo ordine, una luna di Giove ha tutta la comodità di esplodere senza che il concetto sotto cui essa cade alzi un dito.

Vengo ora alla soluzione. Chiaramente, la soluzione più sensata è quella di restringere il Dominio. Guarda caso, viene fatto da (quasi?) tutte le teorie per l’aritmetica. Una ulteriore soluzione riguarda invece i concetti freghiani e ho la sensazione che sia una soluzione decisamente più lurida della precedente, ma non ho argomenti bastanti a palesare il luridume. Prendo spunto da una citazione del Sommo, che riporto per intero:

“The fact is that the concept ‘inhabitant of Germany’ contains a time-reference as a variable element in it, or, to put it mathematically, is a function of the time. Instead of ‘a is an inhabitant of Germany’ we can say ‘a inhabits Germany’, and this refers to the current date at the time. Thus in the concept itself there is already something fluid. On the other hand, the number belonging to the concept ‘inhabitant of Germany at New Year 1003, Berlin time’ is the same for all eternity” (Grundlagen, § 46).

La citazione suggerisce che tutti i concetti freghiani abbiano un indice temporale, implicito od esplicito. Chiaramente, dunque, le espressioni “essere una luna di Giove nel 2007” e “essere una luna di Giove nel 2020” esprimono concetti intensionalmente diversi, anche se potenzialmente coestensivi. Il suggerimento risolve certamente il problema esposto nell’argomento principale di questo post.

I miei dubbi a riguardo sono i seguenti:

I) se questa è una soluzione, qual è il prezzo da pagare, oltre ad un’ontologia dei concetti assai complicata ma tanto ogni scarrafone è bello a mamma sua?

 II) alla luce di questa presunta soluzione, il problema esposto è realmente tale? Se tutti i concetti freghiani sono ab origine indicizzati temporalmente, il problema non si pone più, evidentemente. Certamente dovremmo rinunciare all’intuizione che la semplice forma “essere una luna di Giove” esprima un concetto e dovremmo accettare che ogni espressione insatura sia in qualche modo specificata dal punto di vista temporale, anche solo attraverso l’atto di proferimento se non altrimenti specificata; ma si sa che ci si abitua a qualunque aberrazione.

L’unica conclusione cui mi sento di aderire a questo punto è l’invito a giocare 68, 18, 84, 4, 33 (la Luna, secondo la smorfia napoletana) su tutte le ruote.

Cordiali saluti.

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(MWPMW 8) Midwest PhilMath Workshop

Posted by giuseppina ronzitti su giugno 12, 2007

Segnalo (in accordo con il mittente dell’annuncio):

This is an invitation to the eighth annual Midwest PhilMath Workshop
(MWPMW 8), to be held at Notre Dame the weekend of Saturday, October
27th and Sunday, October 28th. As usual, the plan is to schedule a
full day of talks and discussions for Saturday and a half day for
Sunday. Also as usual, there will be a workshop dinner Saturday
evening, with all participants invited to attend as guests of the
university.

In a few weeks, a website for the workshop will be up, and you’ll be
able to keep up with developments there. You can get to it by
following the obvious links on the Philosophy Department’s web page
( http://www.nd.edu/~ndphilo/). In due course, the location of the
sessions, the schedule of talks and abstracts for them will be posted
there.

If you would like to give a talk, please let me know, and email me
(mdetlef1@nd.edu) a pdf of your talk with copies to Paddy (blanchette.
1@nd.edu), Tim (bays.5@nd.edu) and Curtis ( cfranks@nd.edu). We would
like to have all proposals for talks by early September so that we
can set the program in mid September. Talks should be 35–40 minutes,
with 15–20 minutes left for discussion. As always, we’ll try to
balance the program both thematically (or imbalance it, if that seems
better) and between student and faculty presentations.

We’re fortunate to have Mrs. Harriet Baldwin ( baldwin.1@nd.edu) as
the workshop manager once again this year. Please contact her with
any questions you have concerning rooms, meals, etc.. She has booked
a block of rooms for the workshop. Since there are other conferences
going on the same weekend, demand for rooms may be high and it would
thus be a good idea to reserve a room with Harriet as soon as
possible. Please also indicate to her whether you will be joining us
for dinner Saturday evening, and let her know if you have any special
dietary requirements. She can also point you to pertinent travel
information, maps, etc..

Finally, I’d ask that you share this announcement with others you
know who might be interested, including both students and faculty. We
are fortunate once again to have limited funds to help defray
expenses for student participants coming from out of town whose
departments do not have funds to cover their costs. These funds will
generally take the form of subventions for lodging. If you are
interested in applying for a subvention, please email me and let me
know as soon as you can. Please also have an appropriate faculty
member from your department email me to confirm that it cannot meet
your expenses.

Cordially,

Mic Detlefsen
Director, MWPMW 8

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Cambridge Graduate Conference

Posted by Luca Incurvati su aprile 3, 2007

Cari tutti,

Vorrei segnalarvi la 1st Cambridge Graduate Conference in filosofia della logica e della matematica, che si terrà al St. John’s College il 19 e 20 gennaio 2008:

http://www.phil.cam.ac.uk/news_events/camgradphilconf.html

I keynote speakers saranno Dorothy Edgington (Oxford) e Alan Weir (Glasgow). Nella pagina web della conferenza trovate anche il link al CFP. La deadline è il 19 ottobre 2007. Per qualsiasi informazione potete contattare me e Tim Button a: cam.phil.grad.conf@googlemail.com. Mi raccomando, contribuite numerosi.

Ciao,

Luca

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Matematica e Fenomenologia

Posted by giuseppina ronzitti su febbraio 25, 2007

Matematica e Fenomenologia

Sto recensendo il libro di Richard Tieszen “Phenomenology, Logic, and the Philosophy of Mathematics”, cercando (con molta difficoltà) di comprendere il punto di vista fenomenologico (o almeno l’interpretazione che ne dà Tieszen) rispetto al contributo che questo può dare alla filosofia della matematica.

Tieszen dice esplicitamente di rifarsi a Husserl, in particolare agli scritti del secondo e terzo periodo, e dovendo scegliere, del terzo (non commento sulla periodizzazione del pensiero di Husserl adottata da Tieszen), per essere espliciti gli scritti dal 1900 in poi: Logical Investigations, Ideas

La prima generica impressione che ho avuto leggendo il libro (una raccolta di 15 articoli e recensioni dello stesso Tieszen) è che la la fenomenologia di Husserl sia, nell’uso che ne fa Tieszen, una specie di pietra filosofale, almeno in filosofia della matematica: risolve i problemi del platonismo, nominalismo, fictionalism, ecc., è compatibile sia con un approccio di tipo realista che con un approccio intuizionista …

In questo momento ho un problema specifico, può essere anche di comprensione, con il capitolo 3, titolo “Free Variation and the Intuition of Geometric Essences”.

Il tema è quello del ‘metodo’ Husserliano per ‘intuire essenze’ detto ‘Free Variation in imagination’ o ‘Ideation’ o ‘Eidetic reduction’. Dopo aver illustrato il metodo per mezzo di un semplice esempio in geometria euclidea, Tieszen ne dà una descrizione teorica: (p. 71)

(a) one starts with an example or ‘model’
(b) one actively produces and runs through a multiplicity of variations of the example;
(c) one finds that an overlapping coincidence occurs as a ‘synthetic unity’ through the formation of the variants
(d) one actively identifies this synthetic unity as an invariant through variations.

Un esempio: considera (le coordinate cartesiane di) punti x su una retta ( ‘x’ è la distanza del punto dall’origine 0) [il modello del punto (a)]. Si considera poi una trasformazione x’=3x che sostituisce 3x ad ogni x (il punto che dista 2 unità dall’origine ora dista 6, il punto che distava 3, ora dista 9 ecc.), questo costituisce un esempio di ‘ree variation’ [applicazione del punto (b)]. Questo trasformazione si può variare (x’=4x, x’=5x, ecc) [altra applicazione del punto (b)] e otteniamo la formula generale della trasformazione, ossia l’equazione x’=ax [e siamo al punto [c]]. Quello che notiamo è che attraverso queste trasformazioni sia l’origine (0) che la direzione non cambiano (per ‘a’ positivo): ossia direzione e origine sono invarianti rispetto al gruppo delle trasformazioni x’=ax (per ‘a’ positivo) [conclusione, punto (c-d)].

(In breve, l’invarianza dell’origine e della direzione è l’essenza che viene intuita tramite l’applicazione del metodo della ‘free variation in imagination’)

Il mio problema sta nel capire quale sia il contributo specifico dell’analisi fenomenologia in quello che a me sembra semplicemente una comune pratica matematica (variare gli esempi, cercare cosa rimane costante, ecc) e non solo.

Tieszen sostiene che l’idea di trovare invarianti rispetto ai gruppi di trasformazioni in geometria si può forse vedere come “specific instance” del metodo della ‘free variation in imagination’. Ma, anche concedendo questo, non riesco a vedere quale sia il vantaggio concettuale che ne consegue (a me sembra solo dare un nome nuovo a un concetto noto). Mi chiedo se c’è qualcosa che mi sfugge.

(Se qualcuno ha un’opinione in merito …)

Quello che semmai andrebbe approfondito (e Tieszen non lo fa) è, secondo me, se a una tale pratica corrisponda davvero un ‘metodo’ (con una specificazione ulteriore di cosa si debba eventualmente intendere per ‘metodo’ in questo e in altri casi)

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Posted by sebastiano moruzzi su febbraio 8, 2007

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