Ormai sono quasi esasperata. Non riesco a capire se il problema di cui vi illusterò in questo post sia un problema e, se sì, a quale categoria appartenga. Per quest’ultimo motivo, mi aggrappo all’unica certezza che mi rimane: aver fino ad ora studiato più che altro filosofia della matematica.
Vengo subito al dunque. Il fishy problem è il seguente. Ricordate le vostre letture giovanili? Se sì, ricorderete certamente quando, ormai seienni, vi siete imbattuti nei Grundlagen der Arithmetik di freghiana fattura [A.D. 1884]. E sono certa che è impressa a fuoco nei vostri cuori e nella vostra mente la Fatidica Definizione Esplicita di Numero Naturale, secondo cui il Numero degli F è l’estensione del concetto “equinumeroso a F”. [§ 68]
Ora, consideriamo il numero 4. Una semplice applicazione al particolare ci dice che il numero 4 è l’estensione del concetto “equinumeroso a {0,1,2,3}” (fidatevi: la definizione è corretta anche se ve la vendo direttamente in termini estensionali. Se volete quella in termini di concetti, accomodatevi…). Consideriamo adesso il concetto “essere una luna di Giove”. Essendoci quattro lune di Giove, l’estensione di questo concetto cadrà sotto il concetto “equinumeroso a {0,1,2,3}”. Assumiamo, però, che nel 2020 le lune di Giove diventino tre, per volere divino, una esplosione quantico-atomica o l’intervento del mago Othelma. Dovremmo dunque ammettere che è vero che
(1) l’estensione di “essere una luna di Giove” nel 2007 è diversa dall’estensione di “essere una luna di Giove” nel 2020
e che dunque l’estensione di “essere una luna di Giove” nel 2020 non cadrà sotto il concetto “equinumeroso a {01,2,3}”. Ora, chiaramente, se le estensioni che cadono sotto “equinumeroso a {01,2,3}” cambiano, l’estensione dello stesso concetto “equinumeroso a {01,2,3}” cambierà. Quindi, se certe estensioni cadono sotto “equinumeroso a {01,2,3}” nel 2007, altre estensioni, anche diverse dalle precedenti, possono cadere sotto “equinumeroso a {01,2,3}” nel 2020. La seguente proposizione è dunque vera:
(2) l’estensione di “equinumeroso a {01,2,3}” nel 2007 è diversa dall’estensione di “equinumeroso a {01,2,3}” nel 2020
che, in base alla Definizione Esplicita, porta dritto dritto a:
(3) 4 nel 2007 è diverso da 4 nel 2020.
Se effettivamente alcuni concetti possono determinare estensioni diverse attraverso il tempo, allora la cosa è preoccupante, visto che qualsiasi concetto è passibile di essere incassato nella definizione di Numero Naturale. A questo punto, direi che abbiamo già un problema un po’ ingombrante, datosi che non vorremmo (almeno io non lo vorrei) che i numeri fossero entità tempo- o mondo-sensibili.
Un paio di domande sorgono inevitabili: 1) qual è la causa del problema?; 2) qual è la soluzione?
Rispetto alla causa, vi posso dire quanto segue. Io non credo la fonte del problema risieda nella teoria dei concetti freghiani. Per asserire che bisogna imputare ai concetti freghiani l’insorgenza del pasticcio, dovremmo assumere che si possono dare concetti freghiani privi di un criterio di applicazione soddisfacente. Tuttavia, i concetti freghiani costituzionalmente sono ben determinati, perchè è loro richiesto di tagliare nettamente in due (ed una volta per tutte, direi) il Dominio degli individui in estensione e controestensione. In sostanza, un enunciato della forma “a è una luna di Giove” deve soddisfare il Principio del Terzo Escluso, quale che sia a. Altrimenti, la supposta espressione concettuale non esprime punto un concetto. (Assumo che sia ovvio che dal punto di vista di Frege un’altra caratteristica fondamentale dei concetti, per quanto misteriosa, sia che essi sono palesati da espressioni insature).
La mia modestissima opinione è che il problema, posto che sia tale, è dovuto alla onnicomprensività e contemporanea omogeneità del Dominio freghiano degli individui (quanto meno nei Grundlagen). [Per amor di precisione, ci sono illustri precedenti: Mathias Schirn in alcuni suoi papers suggerisce che il Dominio freghiano degli individui sia onni-inclusivo e omogeneo ed è questa la fonte del problema di Giulio Cesare. Della stessa opinione relativa al Dominio degli individui sono M. Dummett e G. Boolos, quest'ultimo certamente relativamente ai Begriffsschrift]:
a) Onnicomprensività: il Dominio freghiano degli individui contiene letteralmente tutti gli individui, logici e non logici (la questione è disputata: alcuni come Heck e, credo, Wright ritengono che il Dominio degli individui freghiani consti di decorsi di valori e valori di verità, assimilati per stipulazione ai loro rispettivi singoletti; altri, come Schirn, ritengono che certamente i decorsi di valori siano individui del Dominio freghiano, ma che non è certo che essi soli lo siano, anzi per alcuni il Dominio è appunto onni-inclusivo. A questo proposito, cfr. § 10 dei Grundgesetze).
b) Omogeneità: tutti gli individui freghiani sono trattati allo stesso modo, tutti cioè possono essere gli argomenti di qualsiasi funzione
c) Sortali: Frege tuttavia presuppone una differenza sortale fra oggetti logici ed oggetti non logici (Frege difatti assume che sia evidente cosa siano le estensioni e che nessuno mai potrebbe confondere l’Inghilterra con l’asse terrestre: cfr. Grundlagen, § 66).
[Voglio fare presente, per onestà, che né il punto a) né il punto c) sono esplicitamente considerati nella letteratura freghiana a me nota. Assumo quindi, con beneficio del dubbio, che possano esserci loci freghiani a me attualmente ignoti in cui le questioni sono sviscerate ampiamente]
Queste considerazioni rendono conto abbastanza semplicemente del fatto che, dopo tutto, non è per nulla banale e neppure insensato, in una prospettiva freghiana, chiedersi se Giulio Cesare sia o meno un numero. Rendono inoltre conto del fatto che, se l’Universo Mondo è il Dominio freghiano di quantificazione delle variabili del primo ordine, una luna di Giove ha tutta la comodità di esplodere senza che il concetto sotto cui essa cade alzi un dito.
Vengo ora alla soluzione. Chiaramente, la soluzione più sensata è quella di restringere il Dominio. Guarda caso, viene fatto da (quasi?) tutte le teorie per l’aritmetica. Una ulteriore soluzione riguarda invece i concetti freghiani e ho la sensazione che sia una soluzione decisamente più lurida della precedente, ma non ho argomenti bastanti a palesare il luridume. Prendo spunto da una citazione del Sommo, che riporto per intero:
“The fact is that the concept ‘inhabitant of Germany’ contains a time-reference as a variable element in it, or, to put it mathematically, is a function of the time. Instead of ‘a is an inhabitant of Germany’ we can say ‘a inhabits Germany’, and this refers to the current date at the time. Thus in the concept itself there is already something fluid. On the other hand, the number belonging to the concept ‘inhabitant of Germany at New Year 1003, Berlin time’ is the same for all eternity” (Grundlagen, § 46).
La citazione suggerisce che tutti i concetti freghiani abbiano un indice temporale, implicito od esplicito. Chiaramente, dunque, le espressioni “essere una luna di Giove nel 2007″ e “essere una luna di Giove nel 2020″ esprimono concetti intensionalmente diversi, anche se potenzialmente coestensivi. Il suggerimento risolve certamente il problema esposto nell’argomento principale di questo post.
I miei dubbi a riguardo sono i seguenti:
I) se questa è una soluzione, qual è il prezzo da pagare, oltre ad un’ontologia dei concetti assai complicata ma tanto ogni scarrafone è bello a mamma sua?
II) alla luce di questa presunta soluzione, il problema esposto è realmente tale? Se tutti i concetti freghiani sono ab origine indicizzati temporalmente, il problema non si pone più, evidentemente. Certamente dovremmo rinunciare all’intuizione che la semplice forma ”essere una luna di Giove” esprima un concetto e dovremmo accettare che ogni espressione insatura sia in qualche modo specificata dal punto di vista temporale, anche solo attraverso l’atto di proferimento se non altrimenti specificata; ma si sa che ci si abitua a qualunque aberrazione.
L’unica conclusione cui mi sento di aderire a questo punto è l’invito a giocare 68, 18, 84, 4, 33 (la Luna, secondo la smorfia napoletana) su tutte le ruote.
Cordiali saluti.
