Matematica e Fenomenologia

Matematica e Fenomenologia

Sto recensendo il libro di Richard Tieszen “Phenomenology, Logic, and the Philosophy of Mathematics”, cercando (con molta difficoltà) di comprendere il punto di vista fenomenologico (o almeno l’interpretazione che ne dà Tieszen) rispetto al contributo che questo può dare alla filosofia della matematica.

Tieszen dice esplicitamente di rifarsi a Husserl, in particolare agli scritti del secondo e terzo periodo, e dovendo scegliere, del terzo (non commento sulla periodizzazione del pensiero di Husserl adottata da Tieszen), per essere espliciti gli scritti dal 1900 in poi: Logical Investigations, Ideas

La prima generica impressione che ho avuto leggendo il libro (una raccolta di 15 articoli e recensioni dello stesso Tieszen) è che la la fenomenologia di Husserl sia, nell’uso che ne fa Tieszen, una specie di pietra filosofale, almeno in filosofia della matematica: risolve i problemi del platonismo, nominalismo, fictionalism, ecc., è compatibile sia con un approccio di tipo realista che con un approccio intuizionista …

In questo momento ho un problema specifico, può essere anche di comprensione, con il capitolo 3, titolo “Free Variation and the Intuition of Geometric Essences”.

Il tema è quello del ‘metodo’ Husserliano per ‘intuire essenze’ detto ‘Free Variation in imagination’ o ‘Ideation’ o ‘Eidetic reduction’. Dopo aver illustrato il metodo per mezzo di un semplice esempio in geometria euclidea, Tieszen ne dà una descrizione teorica: (p. 71)

(a) one starts with an example or ‘model’
(b) one actively produces and runs through a multiplicity of variations of the example;
(c) one finds that an overlapping coincidence occurs as a ’synthetic unity’ through the formation of the variants
(d) one actively identifies this synthetic unity as an invariant through variations.

Un esempio: considera (le coordinate cartesiane di) punti x su una retta ( ‘x’ è la distanza del punto dall’origine 0) [il modello del punto (a)]. Si considera poi una trasformazione x’=3x che sostituisce 3x ad ogni x (il punto che dista 2 unità dall’origine ora dista 6, il punto che distava 3, ora dista 9 ecc.), questo costituisce un esempio di ‘ree variation’ [applicazione del punto (b)]. Questo trasformazione si può variare (x’=4x, x’=5x, ecc) [altra applicazione del punto (b)] e otteniamo la formula generale della trasformazione, ossia l’equazione x’=ax [e siamo al punto [c]]. Quello che notiamo è che attraverso queste trasformazioni sia l’origine (0) che la direzione non cambiano (per ‘a’ positivo): ossia direzione e origine sono invarianti rispetto al gruppo delle trasformazioni x’=ax (per ‘a’ positivo) [conclusione, punto (c-d)].

(In breve, l’invarianza dell’origine e della direzione è l’essenza che viene intuita tramite l’applicazione del metodo della ‘free variation in imagination’)

Il mio problema sta nel capire quale sia il contributo specifico dell’analisi fenomenologia in quello che a me sembra semplicemente una comune pratica matematica (variare gli esempi, cercare cosa rimane costante, ecc) e non solo.

Tieszen sostiene che l’idea di trovare invarianti rispetto ai gruppi di trasformazioni in geometria si può forse vedere come “specific instance” del metodo della ‘free variation in imagination’. Ma, anche concedendo questo, non riesco a vedere quale sia il vantaggio concettuale che ne consegue (a me sembra solo dare un nome nuovo a un concetto noto). Mi chiedo se c’è qualcosa che mi sfugge.

(Se qualcuno ha un’opinione in merito …)

Quello che semmai andrebbe approfondito (e Tieszen non lo fa) è, secondo me, se a una tale pratica corrisponda davvero un ‘metodo’ (con una specificazione ulteriore di cosa si debba eventualmente intendere per ‘metodo’ in questo e in altri casi)

“Logical Pluralism”, Prefazione e Normatività della Logica

Questo post (della cui lunghezza mi scuso, se qualcuno sa come aggiungere un fold su questo blog me lo faccia sapere!) riguarda una posizione difesa nel volumetto “Logical Pluralism” di JC Beall, e Greg Restall (nel resto B&R). Ho letto questo libro già una volta, ma pensavo di discuterlo più attentamente su questo blog. Il libro tratta di conseguenza logica, sostenendo in effetti che la mole di sofisticazione teorica che abbiamo raggiunto circa questo contesto lascia comunque indeterminata l’estensione del concetto, e, in particolare, la scelta fra logiche rivali. Beall e Restall fanno un passo in più identificando, per un numero molto ristretto di logiche alternative, una serie di parametri i quali, dati valori appropriati, sono sufficienti a determinare una relazione di conseguenza. Quasi tutti i miei istinti si ribellano alla posizione pluralista, ma vorrei capire perché.

In questo post mi limieterò però ad affrontare la discussione che B&R danno della normatività della conseguenza logica nel Capitolo 2—ancora molto distante dunque dalla loro discussione del pluralismo. Da quando Harman ha argomentato contro l’idea che vi sia una connessione ovvia fra “A implica B” ed “è corretto inferire B da A” (persuadendo, a quanto mi risulta, tutti o quasi), si è creata una piccola industria (cui prima o poi penso di contribuire anch’io…) alla ricerca del “bridge principle” appropriato (l’espressione “bridge principle”, che tradurrò, per mancanza di meglio con “principio ponte”, mi viene da John MacFarlane, ma probabilmente lui l’ha presa da qualche altra parte). Il principio sottoscritto da B&R è questo:

(*) “In un senso importante, è un errore accettare le premesse di un argomento valido, ma respingerne la conclusione” (Logical Pluralism, p. 16).

[Fra parentesi è scorretto da parte mia dire che questo è un principio: due principi compatibili con (*) sono:

(NS) Se A1...An |= B allora (se accetti le proposizioni Ai, è un errore respingere B)

(WS) Se A1…An |= B allora è un errore (accettare le Ai e respingere B)

articolare le differenze fra questi due principi ci porterebbe fuori strada, ma ciononostante sono principi diversi. Ovviamente altri principi soddisfano (NS), (WS). La morale è che (*) non è un principio-ponte, ma una sorta di vincolo sui possibili principi-ponte]

Ora, come si fa sempre in questi casi, B&R discutono del paradosso della prefazione, che a prima vista sembra un controesempio a (*). Uno accetta una serie di proposizioni P1…P10000, basando ogni atto di accettazione, supponiamo, su evidenza buona, ma respinge la congiunzione di quelle proposizioni sulla base della convinzione di non essere perfettamente affidabile, credenza che, immaginiamo è basata a sua volta su buona evidenza induttiva…

Ok. Secondo B&R il paradosso della prefazione non dimostra la falsità di (*), ma piuttosto dimostra che possono esistere conflitti fra norme epistemiche. Secondo B&R, da un lato vi sono norme di coerenza logica, come quelle che istanziano (*), dall’altro vi sono le norme basate sull’evidenza: accetta ciò che è sorretto da evidenza buona, respingi ciò per cui vi è evidenza contraria, sospendi il giudizio, se non vi è evidenza sufficiente a favore o contro.

Questa posizione sul paradosso della prefazione è moderatamente diffusa, ma secondo me è problematica. Se si tratta di un conflitto fra una norma d’evidenza e una norma di coerenza logica, sembra che debba esservi una meta-norma che governa i conflitti tra le due norme di primo ordine. Le meta-norma andrebbe giustificata, ma non è questo che m’interessa qui: il punto è che casi come il paradosso della prefazione sembrano stabilire che la meta-norma, se vi fosse, sancirebbe che in caso di conflitti fra norme di evidenza e norme di credenza, sono le norme di evidenza ad avere la meglio (provate a concepire un caso contrario. Non è solo una sfida: avrei davvero interesse a capire se vi sono casi, per quanto “far-fetched” in cui è razionale sospendere le norme di evidenza).

Dato che la metanorma sancisce che è la norma evidenziale a prevalere, la norma di coerenza logica sembra non avere alcuna funzione: quando la norma evidenziale sostiene proposizioni logicamente incoerenti, la norma di coerenza è sospesa. Quando invece la norma di evidenziale sostiene proposizioni logicamente coerenti, la norma di coerenza logica non ha nessun effetto. Conclusione (il Moruzzi mi perdoni l’appello implicito al terzo escluso), in ogni caso, o la norma di coerenza non si applica, oppure non è violata.

Uno dei nostri junior faculty, Niko Kolodny, ha effettivamente argomentato che la “normatività” delle norme di coerenza non è vera normatività (“Why Be Rational?” (il link richiede che voi o la vs biblioteca abbiate l’abbonamento a Oxford Journals), uscito su Mind credo un paio d’anni fa, paper consigliato caldamente!!!) . A me sembra che sia, nonostante tutto, possibile provare a difendere una qualche norma di coerenza relativamente debole, tuttavia unire (*) al trattamento del paradosso della prefazione delineato sopra mi sembra un strategia dai dubbi meriti…

Le metavariabili colpiscono ancora!

Non posso resistere questo. In uno dei più importanti libri “scolastici” di teoria della dimostrazione (“Basic Proof Theory”, CUP), gli emeriti autori A. Troelstra e H. Schwichtenberg dicono all’inizio di usare ‘x’, ‘y’ etc come metavariabili. Ma poi il libro è pieno di asserzioni del tipo che, data una dimostrazione di forma:

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Ax Px
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Ay Qy
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ci sono almeno due variabili distinte in essa. Questo è come dire che se uno dice ‘x è bello e y è forte’ uno si sta riferendo ad almeno due oggetti diversi! Se uno ha avuto la pazienza di leggersi il libro, è stupefacente che, con tutta la cura messa nelle varie sottili distinzioni sintattiche richieste dalla teoria della dimostrazione, gli autori si siano lasciati scappare una svista così clamorosa…

Chi ha paura del relativismo? Il caso dell’auto-confutazione

Ciao a tutti,

con questo posto inauguro una serie di posts (ma si mette la ’s’ se si fa il plurante con un prestito da un’altra lingua?) con cui vi martorierò dato che devo scrivere una recensione (per cui sono in ritardo ultra-verognoso) per Fear of Knowledge di Paul Boghossian.

Nel capitolo 4 di Fear of Knowledge (2006 OUP p.52, tradotto per Carocci dalla nostra collega bloggista Annalisa Coliva) Boghossian argomenta contro il relativismo globale sui fatti (che attribuisce a Rorty):

(Relativismo globale sui fatti)

1. non ci sono fatti assoluti della forma p;
2. un proferimento di ‘p’ esprime sempre ‘Secondo una teoria T, che (noi comunità, o anche io solo) accettiamo, p’
3. Ci sono diverse teore alternative egualmente corrette che valutano diversamente ‘p’.

Boghossian ritiene che il relativismo globale sia soggetto a un dilemma che ne mostra l’insostenibilità, ecco l’argomento:

1. Considera un fatto qualsiasi p;
2. Questo fatto corrisponde al fatto che, secondo la teoria che io accetto, p (Relativismo Global sui Fatti);
3. O il fatto che secondo la teoria che accetto, p è assoluto o no (probabilmente appello implicito al terzo escluso);
4. Se è assoluto, allora ci sono fatti assoluti di forma relazionale , ma allora:
   • il Relativismo Globale dei Fatti è falso (definzione di Relativismo Globale);
   • inoltre gli unici fatti assoluti sono quello relativi a stati mentali (perchè sono tutti relativi a ciò che accettiamo), cosa bizzarra dato che sembrebbero invece essere i primi candidati a essere relativi.
5. Se non è assoluto, allora il fatto che secondo una teoria T, che io accetto, p è in realtà della forma ‘Secondo una teoria T*, che io accetto, c’è una teoria T, che io accetto secondo cui p’
   • ma allora o si ripresenta il problema di prima ( punto 4) o si cade in un regresso;
   • il regresso non è sostenibile perchè implica che quello che intendiamo con un qualsiasi proferimento sia una proposizione infinitamente complessa che non possiamo né esprimere né capire.

A mio avviso l’argomento è problematico per almeno diversi motivi:

A) en passant: che cosa è “la forma di un fatto”?

B) nel recente dibattito filosofia del linguaggio per “relativismo” si è più o meno inteso (anche se infuria in discreto casino classificatorio) la tesi secondo cui uno stesso proferimento può essere valutato correttamente in maniere diverse pur esprimendo sempre la stessa proposizione; ciò non comporta che per il relativista se si proferisce ‘p’ si esprima ‘relativamente a T, p’ (semmai il contestualismo si avvicina di più a questa posizione). Non riesco quindi a capire il passo 2 dell’argomento; che relazione c’è tra il relativismo di Rorty è questo relativismo?

C) inoltre anche se il passo 2 fosse vero, non capisco il passo 5: perché la relatività di primo ordine di ‘p’ deve comportare una relatività di secondo ordine che fa scattare il regresso: se usiamo il bagaglio tecnico di filosofia del linguaggio che i relativisti sulla verità come John MacFarlane hanno usato qualunque cosa esprime il proferimento di ‘p’ ciò che proferisce, nel relativismo standard, non è a sua volta relativo, una simile posizione mi sembra sia più simile al relativismo sul contenuto (cioè che un proferimento esprime è relativo all’interprete, una tesi esplorata ad esempio da Herman Cappelen), ma anche usando questa tesi non capisco perché parta il regresso: se teniamo fisso il soggetto (più tempo, posto ecc..) che accetta la teoria il contenuto rimane lo stesso. Insomma mi sembra vi sia un non sequitur: dalla tesi che la verità che p (o dal fatto che p se usiamo ‘fatto’ come ‘proposizione vera’) è relativa non mi sembra che vi sia alcuna necessità di inferire che questa stessa relatività è relativa. Credo quindi che una volta che si sia accettato che per il relativista ‘p’ non esprime ‘relativamente a T, p’; il dilemma scompaia.

D) Ci sono ragioni specifiche per relativismo globale per cui ‘p’ debba sempre esprimere questo? Ovviamente la motivazione filosofica di fondo è che dato che questo relativismo è globale si applica tutto. Ma cosa significa esattamente questo? Se usiamo ad esempio una certa semantica relativista per ogni area del discorso non è sufficiente questo a rendere giustizia alla tesi del relativismo globale? In fondo questo comporterebbe che tutti i proferimenti possibili fatti in un certo linguaggio sono soggetti relatività (assessment-sensitive come dice MacFarlane) e quindi i fatti descritti da essi sono relativi. Sembra che Boghossian, anche se implicitamente dato che non discute il modo in cui collegare la tesi metafisica del relativismo a quella di filosofia del linguaggio, sarebbe propenso a dire che anche i proferimenti fatti nella metateoria sono assessment-sensisitive, ma è davvero necessario per il relativista globale dire questo?

Argomenti su Forma Logica e Esistenza

Leggendo un paper di Simon Keller sul presentismo, (“Presentism and Truthmaking”, Oxford Studies in Metaphysics 2004) mi sono imbattuto nel seguente argomento. Keller sta criticando una possibile (per quanto un po’ disperata) soluzione del problema che si pone al presentista di spiegare il contenuto delle sue asserzioni quando riguardano oggetti passati. Per il presentista esistono (nel senso più ampio del termine, senza restizioni alcuna sulla quantificazione) solo le entità presenti. Quando il presentista dice

(1) La Torre di Londra è sulla rive del Tamigi

attribuisce una relazione fra due entità presenti – e fin qui nessun problema. Ma quando il presentista dice

(2) Anna Bolena è stata rinchiusa nella Torre di Londra

sta atribuendo una relazione fra una entità che esite nel presente, e quindi esiste tout court, ed una entità che è esistita nel passato, e che quindi non esiste affatto. Ma sembrerebbe che Anna Bolena debba esistere per rendere (2) vero. In fondo (2) attribuisce una relazione (non intenzionale, per giunta) fra due entità, e in genere ci aspettiamo che se un enunciato siffatto esprime qualcosa di vero, allora le due entità esistano. Una delle possibili risposte del presentista è che – nonostante le apparenze – questo secondo enunciato non sia relazionale, ma esprima un’attribuzione di una proprietà alla Torre di Londra, una proprietà che non implica che Anna Bolena debba esistere perché l’enunciato esprima qualcosa di vero. Keller liquida questa soluzione come assurda con la seguente glossa:

“To make this claim, however, is to say that the question of how a sentence should be analyzed sometimes depends upon contingent questions about what exists.” (p.13)

Ora, a me sembra che in certi contesti di discussione (o date certe assunzioni, se preferite) il controargomento di Keller vada a segno. Ma che non sia generalmente applicabile. In fondo, non mi sembrerebbe giusto liquidare qualcuno che propone un’analisi di “Topolino ama Minnie” o “Il mio cane assomiglia a Pluto” come aventi una forma logica diversa da “Michele ama Giovanna” o “Il mio cane assomiglia al tuo” solo sulla base di un’osservazione simile. Qualche idea su quali siano (se ci sono) le condizioni generali in cui un’argomento come quello di Keller possa essere applicato?

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